Question

【题目】在三棱锥中，平面平面，，．设D，E分别为PA，AC中点．

（Ⅰ）求证：平面PBC；

（Ⅱ）求证：平面PAB；

（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）证明以DE∥平面PBC，只需证明DE∥PC；（Ⅱ）证明BC⊥平面PAB，根据线面垂直的判定定理，只需证明PA⊥BC，AB⊥BC；（Ⅲ）当点F是线段AB中点时，证明平面DEF∥平面PBC，可得平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．

（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以．

又因为DE面PBC，PC面PBC，

所以DE∥平面PBC．

（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA平面PAC，PA⊥AC，

所以PA⊥面ABC，

因为BC平面ABC，

所以PA⊥BC．

又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A，

所以BC⊥面PAB．

（Ⅲ）

当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．

取AB中点F，连EF，连DF．

由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．

因为点E是AC中点，点F为AB的中点，

所以EF∥BC．

又因为EF平面PBC，BC平面PBC，

所以EF∥平面PBC．

又因为DE∩EF=E，

所以平面DEF∥平面PBC，

所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．

故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．