Question

【题目】如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：

（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，

又∵PA平面DEF，DE平面DEF，

∴PA∥平面DEF；

（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE= PA=3；

又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF= BC=4；

∴DE2+EF2=DF2，

∴∠DEF=90°，

∴DE⊥EF；

∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；

∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；

∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．

【解析】（1）由中位线可得出DE∥PA，由线线平行，得出线面平行，（2）由中点及长度关系可得出DE=3，EF=4，由DE2+EF2=DF2，可知道∠DEF=90°，由DE∥PA，PA⊥AC，DE⊥AC；即DE⊥面ABC，即面BDE⊥面ABC.