Question

【题目】已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x1 ， y1）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由方程x2+y2+2x+4y+3=0知（x+1）2+（y-2）2=2，所以圆心为（-1，2），半径为 ．

当切线过原点时，设切线方程为y=kx，则 = ，所以k=2± ，即切线方程为y=（2± ）x．

当切线不过原点时，设切线方程为x+y=a，则 = ，所以a=1或a=3，即切线方程为x+y+1=0或x+y3=0．

综上知，切线方程为y=（2± ）x或x+y+1=0或x+y-3=0；

（2）因为|PO|2+r2=|PC|2，所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1-2）2，即2x1-4y1+3=0．

要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．

当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时，即直线PO的方程为2x+y=0时，|PM|最小，

此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（- ， ）．

【解析】（1）将圆的一般方程变为标准方程，得到圆心坐标和半径，分切线过原点和不过原点设方程，由点到直线的距离等于半径列出等式，得到切线方程；（2）在直角△PMC中，根据勾股定理得出，列出等式得到P点的轨迹方程，当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时，|PM|最小，联立解出交点坐标.