Question

20．如图，矩形ABCD的内接Rt△FHE，（H是直角顶点），H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=2，AD=$\sqrt{3}$，记∠BHE=θ．
（1）试将Rt△FHE的周长L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）当θ取何值时，Rt△FHE的周长L取最大值，并求出此时周长L．

Answer 1

分析 （1）根据锐角三角函数的定义分别求出EH，FH，利用勾股定理求出EF，即可得出L关于θ的函数；
（2）令sinθ+cosθ=t，使用换元法求出L关于t的函数，根据θ的范围得出t的范围，从而得出L的最值．

解答 解：（1）在Rt△BEH中，∵BH=$\frac{1}{2}AB=1$，∠BHE=θ，
∴EH=$\frac{1}{cosθ}$，
在Rt△AFH中，AH=1，∠AHF=90°-θ，
∴FH=$\frac{1}{cos（90°-θ）}$=$\frac{1}{sinθ}$，
∵∠EHF=90°，
∴EF=$\sqrt{E{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\frac{1}{sinθcosθ}$．
∵$BE=tanθ≤\sqrt{3}，AF=\frac{1}{tanθ}≤\sqrt{3}$，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤tanθ≤\sqrt{3}$，
∴$\frac{π}{6}≤$θ≤$\frac{π}{3}$．
∴L=$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{1}{sinθ}$+$\frac{1}{sinθcosθ}$，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．
（2）由（1）得L=$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{1}{sinθ}$+$\frac{1}{sinθcosθ}$=$\frac{sinθ+cosθ+1}{sinθcosθ}$，
设sinθ+cosθ=t，则$sinθcosθ=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，
∴L=$\frac{t+1}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=$\frac{2}{t-1}$．
∵θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$t≤$\sqrt{2}$．
当t=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$即θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$时，L取得最大值2$\sqrt{3}$+2．

点评 本题考查了函数解析式的求解，三角函数的恒等变换与求值，属于中档题．