Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若

.

OP

=λ

.

OA

+μ

.

OB

（λ，μ∈R），λμ=

3

16

，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ-μ=

b

c

，解之可得λμ的值，由λμ=

3

16

可得a，c的关系，由离心率的定义可得．

解答： 解：双曲线的渐近线为：y=±

b

a

x，设焦点F（c，0），则A（c，

bc

a

），B（c，-

bc

a

），P（c，

b2

a

），
∵

.

OP

=λ

.

OA

+μ

.

OB

，∴（c，

b2

a

）=（（λ+μ）c，（λ-μ）

bc

a

），
∴λ+μ=1，λ-μ=

b

c

，解得λ=

c+b

2c

，μ=

c-b

2c

，
又由λμ=

3

16

，得

c+b

2c

×

c-b

2c

=

3

16

，解得

a2

c2

=

3

4

，
∴e=

c

a

=

2 3

3

故答案为：

2 3

3

．

点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题．