Question

8．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+6≥0}\\{4x+9y-7≥0}\\{3x+2y-10≤0}\end{array}\right.$，则目标函数z=$\frac{y+3}{x+2}$的取值范围是[$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
z=$\frac{y+3}{x+2}$的几何意义为平面区域内的点到定点D（-2，-3）的斜率，
由图象知CD的斜率最小，AD的斜率最大，
其中C（0，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+6=0}\\{4x+9y-7=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（-$\frac{1}{2}$，1），由$\left\{\begin{array}{l}{4x+9y-7=0}\\{3x+2y-10=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即C（4，-1）
则CD的斜率z=$\frac{-1+3}{4+2}$=$\frac{1}{3}$，AD的斜率z═$\frac{1+3}{-\frac{1}{2}+2}$=$\frac{8}{3}$，即$\frac{1}{3}$≤z≤$\frac{8}{3}$，
故答案为：[$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$]．

点评 本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键