Question

已知命题p：?x∈(

π

4

，

π

2

)，使mcosx=2sinx成立；命题q：函数y=log2[4x2+4(m-2)x+1]的定义域为（-∞，+∞），若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求m的取值范围．

Answer 1

分析：由命题p可得m＞2，由命题q可得1＜m＜3．由题意可得，p为真，q为假；或p为假，q为真，故有

m＞2 m≤1或m≥3

或

m≤2 1＜m＜3

，由此解得m的取值范围．

解答：解：对于命题p：mcosx=2sinx，可化为m=2tanx成立，而当x∈(

π

4

，

π

2

)时，y=2tanx为增函数，
故2tanx＞2，解得m＞2．（4分）
对于命题q：∵函数y=log2[4x2+4(m-2)x+1]的定义域为（-∞，+∞），
∴4x²+4（m-2）x+1＞0，x∈R恒成立，即△=16（m-2）²-16＜0，解得1＜m＜3．（8分）
由条件：p∨q为真，p∧q为假，可得 命题p为真，命题q为假；或命题p为假，命题q为真．   （9分）
即

m＞2 m≤1或m≥3

或

m≤2 1＜m＜3

，解得m≥3，或1＜m≤2．
故m的取值范围为{m|m≥3，或1＜m≤2}．（12分）

点评：本题主要考查复合命题的真假，函数的单调性，函数的恒成立问题，属于中档题．