Question

4个人坐在一排7个座位上，问：
（1）空位不相邻的坐法有多少种；
（2）3个空位只有2个相邻的坐法有多少种；
（3）甲乙两人中间恰有2个空位的坐法有多少种？

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：排列组合

分析：（1）空位不相邻相当于将3个空位安插在4个人隔开的5个间隔中，问题得以解决．
（2）将相邻的2个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往5个间隔里插有A₅²种插法，问题得以解决．
（3）把甲乙两人和甲乙中间的2个空位当作一个元素，然后和另外2人和一个空位进行全排．根据分步计数原理得到结果．

解答： 解：4个人排有A₄⁴=24种，4人排好后包括两端共有5个“间隔”可以插入空位．
（1）空位不相邻相当于将4个空位安插在上述个“间隔”中，有C₅³=10种插法，
故空位不相邻的坐法有24×10=240种．
（2）把相邻的2个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往5个“间隔”里插
有A₅²种插法，故3个空位中只有2个相邻的坐法有A₄⁴A₅²=480种．
（3）把甲乙两人和甲乙中间的2个空位当作一个元素，然后和另外2人和一个空位进行全排，故有A₂¹A₄⁴=48种

点评：本题考查插空法和捆绑法解决排列问题，相邻用捆绑，不相邻用插空，属于中档题．