Question

已知函数f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

．
（1）求f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）的值；
（2）当x∈（-a，a]，其中a∈（0，1]，a是常数，函数f（x）是否存在最小值？若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由

1-x

1+x

＞0求得函数f（x）的定义域，再根据f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数，即f（-x）+f（x）=0，从而得到f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）的值．
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，求得f（x₂）-f（x₁）＜0，即 f（x₂）＜f（x₁），可得函数f（x）在其定义域（-1，1）上是减函数，从而求得函数f（x）在（-a，a]上的最小值．

解答： 解：（1）由

1-x

1+x

＞0，得（x+1）（x-1）＜0，
解得-1＜x＜1．
∴函数f（x）的定义域为（-1，1）．
又∵f（-x）=x+log₂

1+x

1-x

=x-log₂

1-x

1+x

=-f（x）．
∴函数f（x）为奇函数，即f（-x）+f（x）=0，
∴f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）=0．
（2）存在最小值，任取x₁、x₂∈（-1，1）且设x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=（x₁-x₂）+log₂

1-x2

1+x2

-log₂

1-x1

1+x1

，
易知f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函数f（x）为（-1，1）上的减函数，
又x∈（-a，a]且a∈（0，1]，
∴f（x）_min=f（a）=-a+log₂

1-a

1+a

．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，函数的奇偶性、单调性的判断和证明，属于中档题．