Question

（文）已知f（x）=ax³+3x²-x+1，a∈R．
（1）若f（x）的曲线在x=1处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值及切线方程；
（2）若对?x∈R对，不等式f'（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出导数，由两直线垂直得到f'（1）=3a+5=-1，即可得到a，和切点坐标，切线方程；
（2）对?x∈R对，不等式f'（x）≤4x恒成立，等价为3ax²+2x-1≤0恒成立，则a＜0，且△≤0，解出即可得到a的范围．

解答： （文）解：（1）f'（x）=3ax²+6x-1，
因为曲线在x=1处的切线与直线y=x+1垂直，
所以f'（1）=3a+5=-1⇒a=-2，即f（x）=-2x³+3x²-x+1，
此时切点为（1，1），切线方程为x+y-2=0；
（2）因为对?x∈R对，不等式f'（x）≤4x恒成立，
所以3ax²+2x-1≤0恒成立，
则a＜0，且△≤0，即有a＜0，且4+12a≤0，解得a≤-

1

3

．
故实数a的取值范围是（-∞，-

1

3

]．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，考查两直线的位置关系及二次不等式恒成立问题，注意二次项系数的符号，本题属于基础题．