Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n和S_n满足4S_n=（a_n+1）²（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

anan+1

，求{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意n∈N^*，T_n＞

m

32

都成立，求整数m的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用递推式、等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出；
（III）利用数列的单调性即可得出．

解答： 解：（I）当n=1时，4S₁=4a₁=(a1+1)2，解得a₁=1．
当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=(an+1)2-(an-1+1)2，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵正项数列{a_n}，∴a_n-a_n-1=2．
∴数列{a_n}为等差数列，a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴{b_n}的前n项和T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
（III）对任意n∈N^*，T_n＞

m

32

都成立，
∴m＜32×

1

2

(1-

1

2n+1

)，
∵数列{1-

1

2n+1

}是单调递增数列，因此当n=1时，取得最小值

32

3

．
∴m＜

32

3

．
∴整数m的最大值为10．

点评：本题考查了递推式、等差数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性，查看了推理能力与计算能力，属于难题．