Question

已知：定点A（-1，0），点B是⊙F：（x-1）²+y²=8（F为圆心）上的动点，线段AB的垂直平分线交BF于点G，记点G的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点A的直线l与曲线E交于P、Q两点．在x轴上是否存在一点M，使得

MP

•

MQ

恒为常数？若存在，求出M点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）利用椭圆的定义判断点G的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．
（II）分类讨论，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系以及向量的数量积公式，即可得出结论．

解答： 解：（I）由题意得 圆心F（1，0），半径等于2

2

，|GA|=|GB|，
∴|GF|+|GA|=|GF|+|GB|=|BF|=半径2

2

＞|AF|，
故点G的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，2a=2

2

，c=1，∴b=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（II）设x轴上存在一点M（t，0），使得

MP

•

MQ

恒为常数 
①直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），P（x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂），
把直线l的方程代入椭圆方程化简可得（3k²+2）x²+6k²x+（3k²-6）=0，
∴x₁+x₂=-

6k2

2+3k2

，x₁x₂=

3k2-6

2+3k2

，
∴y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）=k²[x₁x₂+（x₁+x₂）+1]，
∴

MP

•

MQ

=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+（k²-t）（x₁+x₂）+k²+t²
=

(6t-1)k2-6

2+3k2

+t2
∵

MP

•

MQ

为常数，
∴

6t-1

3

=

-6

2

，
∴t=-

4

3

，
此时

MP

•

MQ

=-

11

9

．…（11分）
②当直线l与x轴垂直时，此时点P、Q的坐标分别为(-1，

2 3

3

)、(-1，-

2 3

3

)，
当t=-

4

3

时，亦有

MP

•

MQ

=-

11

9

．…（12分）
综上，在x轴上存在定点M(-

4

3

，0)，使得

MP

•

MQ

恒为常数，且这个常数为-

11

9

．…（13分）

点评：本题考查用定义法求点的轨迹方程，两个向量的数量积公式，考查韦达定理，考查分类讨论的数学思想，属于难题．