Question

（2013•梅州二模）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切的实数x都成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=2x，②f（x）=x²+1，③f（x）=sinx+cosx，④＜“m“：math dsi：zoomscale=150 dsi：_mathzoomed=1＞f（x）=xx2-x+3f(x)=

x

x2-x+3

，⑤f（x）是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．其中是“倍约束函数”的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：本题考查阅读题意的能力，根据“倍约束函数”，的定义进行判定：对①f（x）=2x，易知存在K=2符合题意；②由基本不等式，易得

|f(x)|

|x|

≥2恒成立；③令x=0时即可得出结论对；④中求出

|f(x)|

|x|

的值域，可得结论；⑤通过取x₂=0，如此可得到正确结论．

解答：解：∵对任意x∈R，存在正数M，都有|f（x）|≤M|x|成立
∴对任意x∈R，存在正数K，都有 M≥

|f(x)|

|x|

成立
∴对于①f（x）=2x，易知存在M=2符合题意；
对于②，

|f(x)|

|x|

=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

≥2，故不存在满足条件的M值，故②错误；
对于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，|f（x）|≤M|x|不成立，故③错误；
对于④f(x)=

x

x2-x+3

，

|f(x)|

|x|

=

1

|x2-x+3|

≤

4

11

恒成立，故④正确；
对于⑤，当x₁=x，x₂=0时，由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到|f（x）|≤2|x|成立，这样的M存在，故⑤正确；
故是“倍约束函数”的函数有3个
故选C．

点评：题属于开放式题，题型新颖，考查数学的阅读理解能力．知识点方面主要考查了函数的最值及其几何意义，考生需要有较强的分析问题解决问题的能力，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．