Question

给出下列命题：
①y=tanx在其定义域上是增函数；
②函数y=|sin(2x+

π

3

)|的最小正周期是

π

2

；
③p：

π

4

＜α＜

π

2

；q：f（x）=log_tanαx在（0，+∞）内是增函数，则p是q的充分非必要条件；
④函数y=lg(sinx+

sin2x+1

)的奇偶性不能确定．
其中正确命题的序号是

②③

（把你认为的正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：根据正切函数的单调性，可判断①的真假，根据正弦型函数的图象和性质及函数图象的对折变换法则，可判断②的真假；根据正切函数的图象和性质，对数函数的单调性，及充要条件的定义，可判断③的真假；根据函数奇偶性的定义，及对数的运算性质，可判断④的真假．

解答：解：y=tanx的图象是不连续的，在每一个（-

π

2

+kπ，

π

2

+kπ）（k∈Z）上均为增函数，但在定义域上不具单调性，故①错误；
函数y=sin(2x+

π

3

)的最小正周期是π，对折变换后，周期变为原来的一半，函数y=|sin(2x+

π

3

)|的最小正周期是

π

2

，故②正确；
若f（x）=log_tanαx在（0，+∞）内是增函数，则tanα＞1，

π

4

+kπ＜α＜

π

2

+kπ，k∈Z，故③正确；
函数y=f(x)=lg(sinx+

sin2x+1

)的定义域为R，且f（-x）=lg[sin(-x)+

sin2(-x)+1

)=lg(-sinx+

sin2x+1

)，此时f（x）+f（-x）=0，则函数y=lg(sinx+

sin2x+1

)为奇函数，故④错误
故答案为：②③

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的单调性，奇偶性，周期性及函数图象的对折变换，是函数与简单逻辑的综合应用，难度不大．