【题目】用一颗骰子连掷三次,投掷出的数字顺次排成一个三位数,此时:
(1)各位数字互不相同的三位数有多少个?
(2)可以排出多少个不同的数?
(3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个?
【答案】(1)120(2)216(3)90
【解析】
试题(1)得到一个三位数,分三步进行:先填百位,有6种方法;再填十位,有5种方法;最后填个位,有4种方法,根据分步计数原理可得;
(2)分三步进行:先填百位,再填十位,最后填个位,每种都有6种方法,根据分步计数原理可得;
(3)从三个位中任选两个位,填上相同的数字,有种方法,剩下的一位数字的填法有5中,根据分步计数原理可求得结果.
试题解析:(1)得到一个三位数,分三步进行:先填百位,再填十位,最后填个位.百位上的数字填法有6种,十位上的数字填法有5种,个位上的数字填法有4种,根据分步计数原理,各位数字互不相同的三位数有个.
(2)分三步进行:先填百位,再填十位,最后填各位,每种都有6种方法,根据分步计数原理,可以排出个不同的数.
(3)两个数字相同有三种可能性,即第一、二位,第二、三位,第三、一位相同,而每种情况有6×5种,故有3×6×5=90(个).
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【题目】(本小题满分12分)
如图,已知四棱锥,底面为菱形,,
, 平面, 分别是的中点。
(1)证明: ;
(2)若为上的动点,与平面所成最大角
的正切值为,求二面角的余弦值。
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【题目】已知椭圆的焦点坐标是,,过点垂直于长轴的直线交椭圆与,两点,且.
(1)求椭圆方程:
(2)过坐标原点做两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于,两点,求证:点到直线的距离为定值.
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【题目】(13分)设{an}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.
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【题目】已知焦距为2的椭圆:的右顶点为,直线与椭圆交于、两点(在的左边),在轴上的射影为,且四边形是平行四边形.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点,.
(i)若直线过原点且与坐标轴不重合,是直线上一点,且是以为直角顶点的等腰直角三角形,求的值;
(ii)若是椭圆的左顶点,是直线上一点,且,点是轴上异于点的点,且以为直径的圆恒过直线和的交点,求证:点是定点.
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【题目】以下三个关于圆锥曲线的命题:
①设,为两个定点,为非零常数,若,则动点的轨迹为双曲线;
②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
③双曲线与椭圆有相同的焦点.
其中真命题的序号为_____(写出所有真命题的序号).
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