[题目]已知焦距为2的椭圆:的右顶点为.直线与椭圆交于.两点(在的左边).在轴上的射影为.且四边形是平行四边形．(1)求椭圆的方程,(2)斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点.．(i)若直线过原点且与坐标轴不重合.是直线上一点.且是以为直角顶点的等腰直角三角形.求的值,(ii)若是椭圆的左顶点.是直线上一点.且.点是轴上异于点的点.且以为直径的圆恒过直线和的交点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知焦距为2的椭圆：的右顶点为，直线与椭圆交于、两点（在的左边），在轴上的射影为，且四边形是平行四边形．

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点，．

（i）若直线过原点且与坐标轴不重合，是直线上一点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的值；

（ii）若是椭圆的左顶点，是直线上一点，且，点是轴上异于点的点，且以为直径的圆恒过直线和的交点，求证：点是定点．

【答案】（1）（2）（i）或；（ii）证明见解析

【解析】

（1）求出两点坐标，四边形是平行四边形，即得，结合可解得；

（2）(i) 设直线方程为，求出坐标，设，由等腰直角三角形，有，到直线的距离为，根据关系式可求得；

(ii)设直线方程为，求出点坐标，又求得点坐标，以为直径的圆恒过直线和的交点，则，设，由斜率乘积为-1可得．

解：（1）由题意可得，即，

直线代入椭圆方程可得，

解得，

可得，

由四边形是平行四边形，

可得，

∴，

解得，

可得椭圆的方程为；

（2）（i）由题意，直线方程为，代入椭圆方程，可得，

解得，

可设，

由是以为直角顶点的等腰直角三角形，

可设，到直线的距离为，

即有，，

即为，，

由，代入第二式，化简整理可得，

解得或；

（ii）证明：由，可得直线的方程是，

代入椭圆方程可得，，

可得，

解得，

，

即，

设，，由题意可得，，

以为直径的圆恒过直线和的交点，

可得，

即有，

即为，

解得．

故点是定点，即为原点．

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