Question

【题目】已知椭圆的焦点坐标是，，过点垂直于长轴的直线交椭圆与，两点，且.

（1）求椭圆方程：

（2）过坐标原点做两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于，两点，求证：点到直线的距离为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）点到直线的距离为定值，此定值为.

【解析】

（1）根据题意知，，利用即可得解；

（2）分两种情况进行讨论：当直线的斜率不存在时，可设，，再由，在椭圆上，可求得，此时易求点到直线的距离；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用得，结合韦达定理，化简即可得到，的关系式，再根据点到直线距离即可得解.

（1）设椭圆方程为，

由焦点坐标得，由，可得，

又，所以，，

故椭圆方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，此时可设，，

又，两点在椭圆上，

所以，解得，

所以点到直线的距离为；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由得，

设，，则，，

因为，所以，

所以即，

所以，

整理得，满足，

所以点到直线的距离为为定值.