Question

椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E交于A，B，两点，|AF|+|BF|=4，

sin∠AFB

sin∠ABF+sin∠BAF

的最小值为0.5．
（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线l：y=kx+m与椭圆E交于M，N两点（其中5m+6k≠0），以线段MN为直径的圆过E的右顶点，求证：直线l过定点．

Answer 1

（I）设椭圆的左焦点为F′，由椭圆的对称性，
因为|AF|+|BF|=4，所以|AF|+|AF′|=4，所以2a=4，即a=2，
在三角形AFB中，由正弦定理得

sin∠AFB

sin∠ABF+sin∠BAF

=

|AB|

|AF|+|BF|

=

x 21 + y 21

2

=

b2+ c2 x 21 a2

2

因为0≤x₁²≤a²，所以

sin∠AFB

sin∠ABF+sin∠BAF

≥

b

2

=

1

2

所以b=1
所以所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1；…5分
（Ⅱ） 由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
由题意得△＞0，即m²-1-4k²＜0．（※）

设交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

x1+x2=- 8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2

 
因为以MN为直径的圆过C（2，0），∴

CM

•

CN

=0
∵

CM

=（x₁-2，y₁），

CN

═（x₂-2，y₂），
所以（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
即（x₁-2）（x₂-2）+（k x₁+m）（kx₂+m ）=0，整理得
5m²+16km+12k²=0，（m+2k）（5m+6k）=0，注意到5m+6k≠0
 故解得m=-2k．经检验，满足（※）式．
m=-2k时，直线方程为y=k（x-2），恒过定点（2，0）…12分