Question

16．数列{a_n}定义如下：a₁=a，0≤a≤1，a_n+1=2（a_n-a_n²）（n∈N⁺）
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求a₄的值；
（2）试确定实数a的值，使得a₃=a₄成立；
（3）求证：当0＜a＜1且a≠$\frac{1}{2}$时，总有a_n+1＞a_n（n≥2，n∈N⁺）成立．

Answer 1

分析 （1）由a=$\frac{1}{2}$，结合数列递推式依次求出a₂，a₃，a₄的值得答案；
（2）由a₃=a₄，结合递推式求a₃，a₂，a₁得答案；
（3）直接利用数学归纳法证明．

解答 （1）解：当a=$\frac{1}{2}$时，${a}_{2}=2{a}_{1}（1-{a}_{1}）=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
同理可得${a}_{3}=2{a}_{2}（1-{a}_{2}）=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
${a}_{4}=2{a}_{3}（1-{a}_{3}）=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
（2）解：若a₃=a₄，由a₄=2a₃（1-a₃）=a₃，得a₃=0或${a}_{3}=\frac{1}{2}$．
①当a₃=0时，由a₃=2a₂（1-a₂），可得a₂=0或a₂=1．
若a₂=0，则由a₂=2a₁（1-a₁）=0，得a₁=0或a₁=1；
若a₂=1，则由a₂=2a₁（1-a₁）=1，得$2{{a}_{1}}^{2}+2{a}_{1}+1=0$，a₁不存在．
②当${a}_{3}=\frac{1}{2}$时，由a₃=2a₂（1-a₂），得${a}_{2}=\frac{1}{2}$，再由a₂=2a₁（1-a₁），得${a}_{1}=\frac{1}{2}$．
故当a=0或1或$\frac{1}{2}$时，a₃=a₄．
（3）证明：∵0＜a₁＜1，且${a}_{1}≠\frac{1}{2}$，
∴$0＜{a}_{2}=2{a}_{1}（1-{a}_{1}）＜2×[\frac{{a}_{1}+（1-{a}_{1}）}{2}]^{2}=\frac{1}{2}$．
下面证明对一切n≥2，n∈N，$0＜{a}_{n}＜\frac{1}{2}$．
1°n=2时已证明结论的正确性；
2°设0$＜{a}_{k}＜\frac{1}{2}$（k≥2，k∈N），则
${a}_{k+1}=2{a}_{k}（1-{a}_{k}）=-2（{{a}_{k}}^{2}-{a}_{k}）$=$-2（{a}_{k}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}$，
∵0$＜{a}_{k}＜\frac{1}{2}$，∴${a}_{k+1}=-2（{a}_{k}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}∈$（0，$\frac{1}{2}$）．
故对一切的n≥2，n∈N，都有$0＜{a}_{n}＜\frac{1}{2}$．
∴${a}_{n+1}=2{a}_{n}（1-{a}_{n}）＞2{a}_{n}（1-\frac{1}{2}）={a}_{n}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了归纳法证明数列不等式，其中渗透了分类讨论的数学思想方法，是中档题．