Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设A=$\frac{π}{3}$，sinB=3sinC．
（1）若a=$\sqrt{7}$，求b的值；
（2）求tanC的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得：b=3c，利用余弦定理可得7=b²+c²-bc，即可解得b的值．
（2）由三角形内角和定理可得B=$\frac{2π}{3}$-C，从而可得sin（$\frac{2π}{3}$-C）=3sinC，利用两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式即可计算得解tanC的值．

解答 （本题满分为13分）
解：（1）∵sinB=3sinC，
∴由正弦定理可得：b=3c，
∴由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA及A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{7}$，可得：7=b²+c²-bc，
∴b²+（$\frac{b}{3}$）²-$\frac{{b}^{2}}{3}$=7，解得：b=3…7分
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，∴B=$\frac{2π}{3}$-C，
∴sin（$\frac{2π}{3}$-C）=3sinC，即：$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{1}{2}$sinC=3sinC，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC=$\frac{5}{2}$sinC，
∴tanC=$\frac{\sqrt{3}}{5}$…13分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．