Question

16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象上的一个最高点坐标为（$\frac{5π}{12}$，2），直线x=x₁和x=x₂是函数f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{6}$时，求函数g（x）=f（x）-1的零点；
（3）设A={x|$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件结合三角函数的性质求出A，ω和φ的值即可得到结论．
（2）由g（x）=0，结合三角函数的解析式进行求解即可，
（3）根据集合关系转化为不等式恒成立进行求解．

解答 解：（1）∵|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$．
∴$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，即T=π=$\frac{2π}{ω}$，则ω=2，
则f（x）=Asin（2x+φ），
∵图象上的一个最高点坐标为（$\frac{5π}{12}$，2），
∴A=2，且2×$\frac{5π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，
则φ=-$\frac{π}{3}$+2kπ，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴当k=0时，φ=-$\frac{π}{3}$，
即f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（2）由g（x）=f（x）-1=0得f（x）=1，
即f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1，
则sin（2x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
∵-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{6}$，∴-$\frac{2π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2π，
则2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$或2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，
即x=$\frac{π}{4}$或x=$\frac{7π}{12}$，
故函数g（x）=f（x）-1的零点是x=$\frac{π}{4}$或x=$\frac{7π}{12}$，
（3）设A={x|$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，求实数m的取值范围．
由|f（x）-m|＜1得：-1＜f（x）-m＜1，即f（x）-1＜m＜f（x）+1，
∵A⊆B，∴当$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$时，f（x）-1＜x＜f（x）+1恒成立．
∴[f（x）-1]_max＜m＜[f（x）+1]_min
又$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$时，$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）_max=2，
当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$时，f（x）_min=2sin$\frac{π}{6}$=2×$\frac{1}{2}$=1，
则1＜m＜2
∴m∈（1，2）

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数函数的图象和性质，综合性较强，运算量较大．