Question

8．已知函数f（x）=（x²+ax+b）e^x，当b＜1时，函数f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上均为增函数，则$\frac{a+b}{a-2}$的取值范围是（　　）

• A． （-2，$\frac{2}{3}$]
• B． [-$\frac{1}{3}$，2）
• C． （-∞，$\frac{2}{3}$]
• D． [-$\frac{2}{3}$，2]

Answer 1

分析 根据：求导公式求出函数的导数，在根据二次函数图象求出a，b的取值范围，绘制出a，b的取值范围，根据线性规划求出其取值范围．

解答 解：由f′（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x
函数f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）增函数，
∴x²+（a+2）x+a+b＞0恒成立，
$\left\{\begin{array}{l}{4-2（a+2）+a+b≥0}\\{1+（a+2）+a+b≥0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+b≥0}\\{2a+b+3≥0}\end{array}\right.$，
$\frac{a+b}{a-2}=z$
∴b=（z-1）a-2z，
设y=（z-1）x-2z，
$\left\{\begin{array}{l}{-x+y≥0}\\{2a+b+3≥0}\end{array}\right.$，
由图象可知在点B（-1，-1）取最大值为z=$\frac{2}{3}$，在点A（1，1）取最小值z=-2
$\frac{a+b}{a-2}$的取值范围为（-2，$\frac{2}{3}$]，
故答案选：A．

点评 考察学生函数求导、二次函数的性质及线性规划问题，属于中档题．