Question

16．已知等比数列{a_n}中：a₁=1，a₇a₈=27a${\;}_{9}^{2}$．．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=-$\frac{1}{lo{g}_{3}{a}_{2n+1}•lo{g}_{3}{a}_{2n+3}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）化简a₇a₈=27a${\;}_{9}^{2}$可得a₇=27a₁₀，从而求得$q=\frac{1}{3}$，从而写出{a_n}的通项公式；
（2）利用对数运算化简可得log₃a_2n+1=-2n，log₃a_2n+3=-2n-2，从而利用裂项求和法求和．

解答 解：（1）∵a₇a₈=27a${\;}_{9}^{2}$，∴a₇a₈=27a₈a₁₀，
∴a₇=27a₁₀，
设{a_n}的公比为q，则${q^3}=\frac{{{a_{10}}}}{a_7}=\frac{1}{27}$，
故$q=\frac{1}{3}$，
所以{a_n}的通项公式为a_n=（$\frac{1}{3}$）^n-1；
（2）log₃a_2n+1=log₃（（$\frac{1}{3}$）²ⁿ）=-2n，
log₃a_2n+3=log₃（（$\frac{1}{3}$）²ⁿ⁺²）=-2n-2，
故b_n=-$\frac{1}{lo{g}_{3}{a}_{2n+1}•lo{g}_{3}{a}_{2n+3}}$=-$\frac{1}{4n（n+1）}$=-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故${S_n}=-\frac{1}{4}[{（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）}]=-\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）=-\frac{n}{4n+4}$．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了对数运算及裂项求和法的应用．