Question

4．已知F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C上存在点P使∠F₁PF₂=90°，且满足2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，那么双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$+1
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 由已知得∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=30°，∠PF₂F₁=60°，设|PF₂|=x，则|PF₁|=$\sqrt{3}x$，|F₁F₂|=2x，由此能求出双曲线C的离心率．

解答 解如图，∵∠F₁PF₂=90°，且满足2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，
∴∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=30°，∠PF₂F₁=60°，
设|PF₂|=x，则|PF₁|=$\sqrt{3}x$，|F₁F₂|=2x，
∴2a=$\sqrt{3}x-x$，2c=2x，
∴双曲线C的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{2x}{\sqrt{3}x-x}$=$\sqrt{3}+1$．
故选：A

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．