Question

13．设θ为第二象限角，若$tan（θ+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$，则sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（θ+$\frac{π}{3}$）的值，再利用两角差的正弦公式求得要求式子的值．

解答 解：∵θ为第二象限角，若$tan（θ+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$＞0，∴θ+$\frac{π}{3}$为第三象限角，
由$\frac{sin（θ+\frac{π}{3}）}{cos（θ+\frac{π}{3}）}$=$\frac{1}{2}$，sin（θ+$\frac{π}{3}$）＜0，cos（θ+$\frac{π}{3}$）＜0，${sin}^{2}（θ+\frac{π}{3}）$+${cos}^{2}（θ+\frac{π}{3}）$=1，
求得sin（θ+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．