Question

18．己知f（x）=e^x，g（x）=x．
（1）求y=f（x）•g（x）在x=1处的切线方程；
（2）试比较e^f（x-2）＞与g（x）的大小，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据已构造的函数，求出y的解析式，对y求导，求出x=1时y的导数，求出切线；（2）构造函数，求导，求出最小值大于0．

解答 解：（1）由y=f（x）•g（x）=xe^x
则y′=e^x（1+x）
${y}_{x=1}^{′}=2e$  切线方程的斜率为2e
设切线方程为y=2ex+b
切线过点（1，e），代入切线方程得b=-e：
切线方程为y=2ex-e
（2）证明：当x＜0时，e^f（x-2）＞0，g（x）＜0，显然成立；
当x≥0，设$F（x）={e}^{{e}^{x-2}}-x$
则$F′（x）={e}^{{e}^{x-2}}•{e}^{x-2}-1$
F′（x）＞0恒成立；F（x）单调递增，F（0）取最小值，最小值为F（0）＞0，
∴e^f（x-2）＞g（x）

点评 本题主要考察求利用导数求切线方程，（2）构造函数的求最值，利用函数最值，比较函数的大小．