Question

5．已知A为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（{a＞1}）$的上顶点，B，C为该椭圆上的另外两点，且△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形．若满足条件的△ABC只有一解，则椭圆的离心率的取值范围是$（\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．

Answer 1

分析 由题意可设：直线AB的方程为y=kx+1，（k＞0），直线AC的方程为y=-$\frac{1}{k}$x+1，分别与椭圆方程联立解出B，C的坐标，利用|AB|=|AC|，即可得出．

解答 解：由题意可设：直线AB的方程为y=kx+1，（k＞0），直线AC的方程为y=-$\frac{1}{k}$x+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$（a＞1），化为：（1+a²k²）x²+2ka²x=0，解得x_B=$\frac{-2k{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，y_B=$\frac{1-{k}^{2}{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$．
|AB|=$\frac{2{a}^{2}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$．
同理可得：x_C=$\frac{2k{a}^{2}}{{a}^{2}+{k}^{2}}$，y_C=$\frac{{k}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}+{k}^{2}}$．
|AC|=$\frac{2{a}^{2}\sqrt{{k}^{2}+1}}{{a}^{2}+{k}^{2}}$．
∵|AB|=|AC|，
∴$\frac{2{a}^{2}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}\sqrt{{k}^{2}+1}}{{a}^{2}+{k}^{2}}$．

化为：a²（k²-k）=k³-1，
当k=1时不满足条件，舍去．
当k≠1时，a²=$\frac{{k}^{2}+k+1}{k}$=k+$\frac{1}{k}$+1＞3，
∴1＞e=$\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$＞$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故答案为：$（\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．

点评 本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．