Question

12．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{3x-y≥1}\\{y≥x+1}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，求ab的值与z的最大值．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最小值的条件，然后利用基本不等式进行求ab的值与z的最大值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
∵a＞0，b＞0，
∴直线的斜率$-\frac{a}{b}＜0$，
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，由图象可知当直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$经过点A时，直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$的截距最小，此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，
即2a+3b=2，∴2=2a+3b$≥2\sqrt{6ab}$，
即ab≤$\frac{1}{6}$，
当且仅当2a=3b=1，即a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$时取等号．
故ab的最大值为$\frac{1}{6}$，z无最大值．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．