Question

【题目】已知函数f（x）＝lnx+﹣1，a∈R.

（1）当a＞0时，若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值；

（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）首先求解导函数，然后分类讨论求解实数的值即可；（2）首先求解导函数，然后进行二次求导，结合二阶导函数的解析式讨论函数的零点个数即可.

解：（1），

当0＜a≤1时，f’（x）＞0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为增函数，

∴f（x）min＝f（1）＝a﹣1，令得（舍去），

当1＜a＜3时，由f’（x）＝0得，x＝a∈（1，3），

若x∈（1，a），有f’（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，

若x∈（a，3）有f’（x）＞0，f（x）在[a，3]上为增函数，

f’（x）min＝f（a）＝lna，令，得.

当a≥3时，f’（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，

∴，令得a＝4﹣3ln3＜2（舍去）.

综上知.

（2）∵函数，

令g（x）＝0，得.

设，，

当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增，

当x∈（1，+∞）时，φ’（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减，

所以x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是（x）的最大值点，

φ（x）的最大值为.

又φ（0）＝0，结合φ（x）的图象可知：

①当时，函数g（x）无零点；

②当时，函数g（x）有且仅有一个零点；

③当时，函数g（x）有两个零点；

④a≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；

综上所述，当时，函数g（x）无零点；当或a≤0时，函数g（x）有且仅有一个零点；

当时，函数g（x）有两个零点.