如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC,△ABC为正三角形,且侧面AA1C1C是边长为2的正方形,E是的中点,F在棱CC1上。
(1)当CF时,求多面体ABCFA1的体积;
(2)当点F使得A1F+BF最小时,判断直线AE与A1F是否垂直,并证明的结论。
(1) ;(2) ,证明详见解析
解析试题分析:(1)此多面体是以为底面,以B为顶点的四棱锥,而且,因为△ABC为正三角形,所以△ABC的AC边上的高即为此四棱锥的高,底面是直角梯形,所以利用锥体体积公式即可求得其体积。(2)把立体图展成平面图后,两点之间直线最短,连接交与点F,此时A1F+BF最小,分析可知F为的中点。过点作交于,则是的中点,此时只需判断AE与EG是否垂直即可。求出三角形AEG三边长即可得证,详见解析。
试题解析:解:(Ⅰ)
由已知可得的高为且等于四棱锥的高.
,即多面体的体积为 5分
(Ⅱ)将侧面展开到侧面得到矩形,连结,交于点,此时点使得最小.此时平行且等于的一半,为的中点. 7分
过点作交于,则是的中点,.
过点作交于,则
又于是在中,
在中,
在中,, ∴ 13分
考点:几何体体积,线线垂直。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示是一几何体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图.
(1)若F为PD的中点,求证:AF⊥面PCD;
(2)求几何体BEC-APD的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知半径为的球内有一个内接正方体(即正方体的顶点都在球面上).
(1)求此球的体积;
(2)求此球的内接正方体的体积;
(3)求此球的表面积与其内接正方体的全面积之比.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)求二面角的正弦值;
(3)求此几何体的体积的大小
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