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己知函数f(x)=|log3(x-1)|-(
1
3
)x
有两个零点x1,x2,则(  )
分析:先将f(x)=|log3(x-1)|-(
1
3
x有两个零点转化为y=|log3(x-1)|与y=3-x有两个交点,然后在同一坐标系中,
画出两函数的图象得到零点在(1,2)和(2,+∞)内,即可得到-3-x1 =log3x1和3-x2 =log3x2,然后两式相加,
即可求得x1x2的范围.
解答:解:f(x)=|log3(x-1)|-(
1
3
x有两个零点x1,x2
即y=|log3(x-1)|与y=3-x有两个交点.
由题意x>0,分别画y=3-x和y=|log3(x-1)|的图象,
发现在(1,2)和(2,+∞)有两个交点.
不妨设 x1在(1,2)里 x2在(2,+∞)里,
那么 在(1,2)上有 3-x1=-log3(x1-1),
即-3-x1=log3(x1-1)…①
在(2,+∞)上有3-x2 =log3(x2-1).…②
①②相加有 3-x2-3-x1=log3(x1-1)(x2-1),
∵x2>x1,∴3-x2<3-x1,即 3-x2-3-x1<0,
∴log3(x1-1)(x2-1)<0,
∴0<(x1-1)(x2-1)<1,∴x1x2<x1+x2
故选D.
点评:本题主要考查确定函数零点所在区间的方法--转化为两个函数的交点问题.函数的零点等价于函数与x轴的交点的横坐标,等价于对应方程的根,属于中档题.
练习册系列答案
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π
3
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6
B、点(-
π
12
,0)是函数f(x)图象上的一个对称中心
C、函数f(x)在区间(
π
12
π
4
)上的最大值为3
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π
3
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π
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