Question

已知f(x)=lnx，g(x)=

1

2

ax2+3x+1，e为自然对数lnx的底数．
（Ⅰ）若函数h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当0＜α＜β时，求证：αf(α)+βf(β)＞(α+β)f(

α+β

2

)；
（Ⅲ）求f（x）-x的最大值，并证明当n＞2，n∈N^*时，log2e+log3e+log4e…+logne＞

3n2-n-2

2n(n+1)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间即h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，然后将a分离，然后利用二次函数的性质求出不等式另一侧的最值，即可求出实数a的取值范围；
（Ⅱ）构造函数φ(x)=xf(x)+yf(y)-(x+y)f(

x+y

2

)(0＜x＜y)，可利用导数研究函数?（x）在（0，y）的单调性，求最小值，即可证得结论；
（Ⅲ）令m（x）=f（x）-x=lnx-x，然后利用导数研究函数m（x）的单调性，从而可求出最值，得到lnx≤-1+x，从而得到

1

lnn

＞

1

n-1

＞

2

(n-1)(n+1)

=

1

n-1

-

1

n+1

(n＞2)，从而可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：函数h(x)=lnx-

1

2

ax2-3x-1．
∴h/(x)=

1

x

-ax-3=

-ax2-3x+1

x

＜0在（0，+∞）上有解，
即ax²+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，
由ax²+3x-1＞0得a＞

1-3x

x2

=(

1

x

)2-3(

1

x

)．
∵当x＞0，(

1

x

)2-3(

1

x

)≥-

9

4

∴a的范围是(-

9

4

，+∞)．                                          …（4分）
（Ⅱ）证明：构造函数φ(x)=xf(x)+yf(y)-(x+y)f(

x+y

2

)(0＜x＜y)．
∴?/(x)=1+lnx-(1+ln

x+y

2

)=ln

2x

x+y

．
∵0＜x＜y，
∴ln

2x

x+y

＜0，即函数?（x）在（0，y）上是减函数，且?（y）=0．
∴?(x)=xf(x)+yf(y)-(x+y)f(

x+y

2

)＞0，
原不等式αf(α)+βf(β)＞(α+β)f(

α+β

2

)成立．              …（8分）
（Ⅲ）证明：∵logxe=

1

lnx

，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，
∴m/(x)=

1

x

-1=

1-x

x

∴函数m（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
∴m（x）≤m（1），即f（x）-x的最大值为-1．                     …（11分）
由m（x）≤m（1）得lnx≤-1+x．
∴

1

lnn

＞

1

n-1

＞

2

(n-1)(n+1)

=

1

n-1

-

1

n+1

(n＞2)，…（12分）
∴log2e+log3e+log4e…+logne=

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)=1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

=

3n2-n-2

2n(n+1)

当n＞2，n∈N^*时，log2e+log3e+log4e…+logne＞

3n2-n-2

2n(n+1)

． …（14分）

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性和构造法的应用，同时考查了计算能力和转化的数学思想，属于难题．