Question

【题目】双曲线：的左右顶点分别为，，动直线垂直的实轴，且交于不同的两点，直线与直线的交点为.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点作的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

(1) 设 则且，再求出直线的方程为，直线的方程为， 再消去即得点的轨迹的方程；

（2）先求出D的中点，的中点， 再证明过两弦，中点的直线恒过定点.

（1）因为，

设 则且①，

因为动直线交双曲线于不同的两点，所以且，

因为直线的方程为②，

直线的方程为③，

②③得，

把①代入上式得，化简得，

所以点的轨迹的方程为.

（2）依题意得直线与直线斜率均存在且不为0，

设直线的方程为，则直线的方程为，

联立得，

则，设，

，，

所以的中点，

同理的中点，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，

整理得，

所以直线恒过定点，即过两弦中点的直线恒过定点.