Question

18．已知三棱锥S-ABC外接球的直径SC=6，且AB=BC=CA=3，则三棱锥S-ABC的体积为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$
• B． $\frac{{9\sqrt{2}}}{4}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，可得三棱锥O-ABC为正四面体，求其高，可得三棱锥S-ABC的高，则体积可求．

解答 解：如图，

设三棱锥S-ABC外接球的球心为O，连接OB，OA，
则OA=OB=OC=$\frac{1}{2}SC=3$，
∵AB=BC=CA=3，
∴三棱锥O-ABC为正四面体，过O作OG⊥平面ABC，垂足为G，
则CG=$\frac{2}{3}\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}=\sqrt{3}$，OG=$\sqrt{{3}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{6}$．
∴${V}_{S-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{6}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查柱、锥、台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．