Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（a+1）x²+ax，g（x）=f′（x）是函数f（x）的导函数，其中实数a是不等1的常数．
（1）设a＞1，讨论函数f（x）在区间[0，a+1]内零点的个数；
（2）求证：当-1＜a＜1时，g（x）＜e^x在[0，+∞）内恒成立．

Answer 1

分析：（1）先求出导数f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），得到：当a＞1时，函数f（x）在（-∞，1）及（a，a+1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，由于f（0）=0，求出f（a+1）解不等式f（a）＞0，得1＜a＜3，解不等式f（a+1）＞0，得a＜2+

3

，从而得出函数f（x）在区间[0，a+1]内零点的个数；
（2）令h（x）=g（x）-e^x，z则h（0）=g（0）-1=a-1＜0，下面我们只需证明h（x）在[0，+∞）上单调递减．
令t（x）=h′（x）=2x-（a+1）-e^x，求出其导数，先研究t（x）的单调性，再利用导数求解t（x）在R上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．

解答：解：（1）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）
当a＞1时，函数f（x）在（-∞，1）及（a，a+1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，
f（a+1）=-

1

6

(a+1)3+（a+1）a=-

1

6

(a+1)(a2-4a+1)，
解不等式f（a）＞0，得1＜a＜3，解不等式f（a+1）＞0，得a＜2+

3

函数f（x）在区间[0，a+1]的零点，当1＜a＜3时只有一个；当a=3时有两个；当3＜a≤2+

3

时有三个零点，当a＞2+

3

时有两个零点．
（2）令h（x）=g（x）-e^x，z则h（0）=g（0）-1=a-1＜0
我们只需证明h（x）在[0，+∞）上单调递减．
令t（x）=h′（x）=2x-（a+1）-e^x，则t′（x）=2-e^x，令2-e^x=0得x=ln2．
∴t（x）的最大值是t（ln2）=2ln2-（a+1）-e^ln2=2ln2-（a+1）-2＜2ln2-2＜0
∴t（x）＜0在[0，+∞）上恒成立
∴g（x）-e^x在（0，+∞）上单调递减，g（x）＜e^x在[0，+∞）上恒成立．

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，函数恒成立问题，利用导数求闭区间上的函数最值，（1）中根据已知条件构造构造关于b的不等式组是证明的关键；（2）中将不等式f（x）≤g（x）在 x∈(

1

2

，+∞)恒成立，转化为函数恒成立问题是解答的关键．