Question

（本题满分14分）

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知
,,现将四边形ABCD沿BD折起，
使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱
AC、AD的中点.
（1）求证：DC平面ABC；
（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；
（3）求二面角B－EF－A的余弦.

Answer 1

（1）证明：在图甲中∵且 ∴ ,
即--------------------------------------------------------------------------------------2分
在图乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD.------------------------------------------4分
又，∴DC⊥BC,且
∴DC平面ABC. -----------------------------------------------------5分
（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点
∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，垂足为点E
∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角-------------------------------------7分
在图甲中，∵, ∴,
设则,,-9分
∴在Rt△FEB中，
即BF与平面ABC所成角的正弦值为.---------------------------------10分
解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，
 设，则，----------------6分
可得,,
，，
∴,-------------8分
设BF与平面ABC所成的角为
由（1）知DC平面ABC
∴
∴------------------------------------------------------10分
（3）由（2）知 FE⊥平面ABC，
又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，
∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角----------------------------------------------12分
在△AEB中，
∴
即所求二面角B－EF－A的余弦为.----------------------------14分

解析