【题目】已知函数.
(1)若,讨论函数
的单调性;
(2)曲线与直线
交于
,
两点,其中
,若直线
斜率为
,求证:
.
【答案】见解析
【解析】(1),
(
),当
时,恒有
,
在区间
内是增函数; 当
时,令
,即
,解得
,令
,即
,解得
,综上,当
时,
在区间
内是增函数;当
时,
在
内是增函数,在
内是减函数.………………5分
(2)证明:,要证明
,
即证,等价于
,令
(由
,知
),
则只需证,由
,知
,故等价于
(
)(
). ……7分
①令(
),则
(
),所以
在
内是增函数,当
时,
,所以
;
②令(
),则
(
),所以
在
内是增函数,所以当
时,
,即
(
).
由②知()成立,所以
.……12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.
【命题意图】本题考查利用导数求函数的单调性、极值、最值,函数与方程、不等式等基础知识,意在考查学生的综合分析问题、解决问题的能力和基本运算能力.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】将编号为1、2、3、4的四个小球随机的放入编号为1、2、3、4的四个纸箱中,每个纸箱有且只有一个小球,称此为一轮“放球”.设一轮“放球”后编号为的纸箱放入的小球编号为
,定义吻合度误差为
(1) 写出吻合度误差的可能值集合;
(2) 假设等可能地为1,2,3,4的各种排列,求吻合度误差
的分布列;
(3)某人连续进行了四轮“放球”,若都满足,试按(Ⅱ)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮“放球”相互独立);
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】“中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书),比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多,是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的,而且和其他国家相比,我国国民的阅读量如此之低,也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站,由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内看书人员进行年龄调查,随机抽取了一天名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:
,
,
,
,
,
后得到如图所示的频率分布直方图.问:
(1)估计在40名读书者中年龄分布在的人数;
(2)求40名读书者年龄的平均数和中位数;
(3)若从年龄在的读书者中任取2名,求这两名读书者年龄在
的人数
的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】点E、F、G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、B1C1的中点,如图所示,则下列命题中的真命题是________(写出所有真命题的编号).
①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形;
②过点F、D1、G的截面是正方形;
③点P在直线FG上运动时,总有AP⊥DE;
④点Q在直线BC1上运动时,三棱锥A-D1QC的体积是定值;
⑤点M是正方体的平面A1B1C1D1内的到点D和C1距离相等的点,则点M的轨迹是一条线段.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着手机使用的不断普及,现在全国各地的中小学生携带手机进入校园已经成为了普遍的现象,也引起了一系列的问题。然而,是堵还是疏,就摆在了我们学校老师的面前.某研究型学习小组调查研究“中学生使用手机对学习的影响”,部分统计数据如下表:
不使用手机 | 使用手机 | 合计 | |
学习成绩优秀人数 | 18 | 7 | 25 |
学习成绩不优秀人数 | 6 | 19 | 25 |
合计 | 24 | 26 | 50 |
参考数据:,其中
.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(1)试根据以上数据,运用独立性检验思想,指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响?
(2)研究小组将该样本中使用手机且成绩优秀的7位同学记为组,不使用手机且成绩优秀的18位同学记为
组,计划从
组推选的2人和
组推选的3人中,随机挑选两人来分享学习经验.求挑选的两人中一人来自
组、另一人来自
组的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是( )
A. y与x具有正的线性相关关系
B. 若给变量x一个值,由回归直线方程=0.85x-85.71得到一个
,则
为该统计量中的估计值
C. 若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg
D. 若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
:
,曲线
:
(
为参数), 以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线,
的极坐标方程;
(2)若射线:
(
)分别交
,
于
两点, 求
的最大值.
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