Question

【题目】数列是首项与公比均为的等比数列（，且），数列满足．

（1）求数列的前项和；

（2）若对一切都有，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】试题分析：（1）先求出数列的通项公式，从而可得，利用错位相减法求解即可；（2）由得，讨论时， 时两种情况，分别分离参数，求出的最值，即可求的取值范围.

试题解析：（1）∵数列是首项为，公比为的等比数列．

∴．

从而，∴ ．

设，则，

∴ ，

∴，∴．

（2）由得．

①当时， ，可得，

∵， ，

∴对一切都成立，此时的解为；

②当时， ，可得，

∵， ，

∴对一切都成立时．

由①，②可知，对一切都有的的取值范围是或．

【易错点晴】本题主要考察等差数列的通项公式、等比数列的求和公式、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.