Question

如图所示，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，四边形ABCD为矩形，E、F分别为AB、SC的中点，且AD=SD=2，DC=3．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求证：EF∥平面SAD；
（3）求异面直线AD、EF所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据四棱锥的体积公式即可得到结论．
（2）证明EF∥平面SAD，利用线面平行的判定，证明线线平行即可，设SD的中点为G，连接GF、AG，证明EF∥AG，即可得到结论；
（3）∠GAD（或其补角）为异面直线AD，EF所成角，在Rt△GDA中，利用余弦函数可求；

解答： （1）解：∵SD⊥底面ABCD，四边形ABCD为矩形，且AD=SD=2，DC=3，
∴四棱锥S-ABCD的体积V=

1

3

×2×2×3=4．
（2）证明：设SD的中点为G，连接GF、AG，则可知GF∥DC且GF=

1

2

CD
又E为AB的中点，故AE∥DC，AE=

1

2

CD
∴GF∥AE，且GF=AE
∴四边形AEFG为平行四边形，
∴EF∥AG．
又EF?平面SAD，AG?平面SAD
∴EF∥平面SAD
（3）解：由（2）知，EF∥AG，所以∠GAD（或其补角）为异面直线AD，EF所成角．
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥DA
在Rt△GDA中，AD=2，GD=1，故GA=

5

，
∴cos∠GAD=

AD

AG

=

2 5

5

，
即异面直线AD，EF所成角的余弦值为

2 5

5

．

点评：本题考查线面平行，考查线线角，以及棱锥的条件的计算，要求熟练掌握相应的计算公式和判定定理．