Question

设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，AC=BC=1，CD=

2

．
（1）AC与平面BCD所成角的大小；
（2）二面角A-BC-D的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）由已知得BD=

3

，OB=OC=OD=

3

2

，AO⊥平面BCD，AC与平面BCD所成角为∠ACO，由此能求出AC与平面BCD所成角的大小为30°．
（2）由已知得AO=

1

2

，AB=AC=1=BC，取BC中点E，则∠AEO是二面角A-BC-D的平面角，由此能求出二面角A-BC-D的正切值．

解答： 解：（1）如图，∵Rt△BCD中，BC=1，CD=

2

，
∴BD=

1+2

=

3

，
∵O是Rt△BCD斜边中点，
∴OB=OC=OD=

3

2

，
∵A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，
∴AO⊥平面BCD，
∴AC与平面BCD所成角为∠ACO，
∵cos∠ACO=

CO

AC

=

3

2

，
∴∠ACO=30°，
∴AC与平面BCD所成角的大小为30°．
（2）由（1）得AO=

1

2

，AB=AC=1=BC，
∴△ABC是正三角形
取BC中点E，则AE⊥BC，DE⊥BC，
AE=

3

2

，OE=

1

2

DC=

2

2

，
则∠AEO是二面角A-BC-D的平面角，
tan∠AEO=

AO

EO

=

1 2

2 2

=

2

2

．
∴二面角A-BC-D的正切值为

2

2

．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．