Question

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点（1，

3

2

）在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF₂B的内切圆半径为

3 2

7

，求以F₂为圆心且与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）根据题意求出a=2，b=

3

，即可得出方程．
（Ⅱ）由

x=ty-1 x2 4 + y2 3 =1

消去x得：（4+3t²）y²-6ty-9=0，运用 韦达定理得出|y₁-y₂|=

12 t2+1

4+3t2

，
S △ABF2=

1

2

×|y₁-y₂|×|F₁F₂|，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，
∴

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵|F₁F₂|=2，
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵点（1，

3

2

）在该椭圆上．
∴|PF₁|+|PF₂|=

5

2

+

3

2

=4，a=2，b=

3

，
∴椭圆C的方程：

x2

4

+

y2

3

=1，

（Ⅱ）设直线l的方程为：x=ty-1，
由

x=ty-1 x2 4 + y2 3 =1

消去x得：（4+3t²）y²-6ty-9=0，
∵△＞0恒成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=

6t

4+3t2

，y₁y₂=

-9

4+3t2

，
∴|y₁-y₂|=

12 t2+1

4+3t2

，|F₁F₂|=2
∵圆F₂的半径为r=

2

t2+1

，△ABF₂的周长为：4a=4×2=8，
∴S △ABF2=

1

2

×8×

3 2

7

=

12 2

7

，
∵S △ABF2=

1

2

×|y₁-y₂|×|F₁F₂|=

1

2

×

12 t2+1

4+3t2

×2=

12 t2+1

4+3t2

，
∴

12 t2+1

4+3t2

=

12 2

7

，
∴t²=1，
∴r=

2

t2+1

=

2

，
故：F₂为圆心的圆的方程：（x-1）²+y²=2．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的方程，运算量较大，属于难题．