Question

9．若函数f（x）=lnx-ax在区间（1，+∞）上是单调减函数，则a的取值范围是$\underline{[{1，+∞}）}$．

Answer 1

分析 求导数，利用函数f（x）在区间（1，+∞）上递减，可得f′（x）=$\frac{1}{x}$-a≤0在区间（1，+∞）上恒成立，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=lnx-ax（a∈R），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∵函数f（x）在区间（1，+∞）上递减，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a≤0在区间（1，+∞）上恒成立，即a$≥\frac{1}{x}$，
而y=$\frac{1}{x}$在区间（1，+∞）上是单调减函数，
∴a≥1，
故答案为：[1，+∞）．

点评 利用导数可以解决函数的单调性问题，本题解题的关键是转化为f′（x）=$\frac{1}{x}$-a≤0在区间（1，+∞）上恒成立．