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已知函数f(x)=-x3x2-2x(a∈R).
(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围;
(3)若过点可作函数y=f(x)图象的三条不同切线,求实数a的取值范围.

(1) 单调递增区间为 ,单调递减区间为 和;(2) ;(3)

解析试题分析:(1)求导,令导数大于0得增区间令导数小于0得减区间。(2) 对于任意都有成立,转化为对于任意都有。求时可根据求导求单调性求最值,也可直接根据二次函数问题求其单调区间再求其最值。(3)先在曲线上任取一点,根据导数的几何意义求其过此点的切线的斜率,再用点斜式求切线方程。将代入直线方程。分析可知此方程应有3个不同的解。将上式命名新函数,用单调性求此函数的极值点可知一个极值应大于0,另一个极值应小于0.
试题解析:(1)当时,函数
.                            1分
所以当时,,函数f(x)单调递增;                    2分
当x<1或x>2时,,函数f(x)单调递减.                      3分
所以函数的单调递增区间为 ,单调递减区间为 和 .4分
(2)由,得,            5分
因为对于任意都有成立,
所以问题转化为对于任意都有.          6分
因为,其图象开口向下,对称轴为.
①当,即时,上单调递减,
所以
,得,此时.                 7分
②当,即时,上单调递增,在上单调递减,
所以
,得,此时.                 8分
综上可得,实数的取值范围为 .                   9分
(3)设点是函数图象上的切点,
则过点的切线的斜率,                    10分
所以过点P的切线方程为,     11分
因为点在该切线上,
所以
.
若过点可作函数图象的三条不同切线,
则方程有三个不同的实数解.                    12分
,则函数的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点.
,解得

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