已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).
(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围;
(3)若过点可作函数y=f(x)图象的三条不同切线,求实数a的取值范围.
(1) 单调递增区间为 ,单调递减区间为 和;(2) ;(3)
解析试题分析:(1)求导,令导数大于0得增区间令导数小于0得减区间。(2) 对于任意都有成立,转化为对于任意都有。求时可根据求导求单调性求最值,也可直接根据二次函数问题求其单调区间再求其最值。(3)先在曲线上任取一点,根据导数的几何意义求其过此点的切线的斜率,再用点斜式求切线方程。将代入直线方程。分析可知此方程应有3个不同的解。将上式命名新函数,用单调性求此函数的极值点可知一个极值应大于0,另一个极值应小于0.
试题解析:(1)当时,函数,
得. 1分
所以当时,,函数f(x)单调递增; 2分
当x<1或x>2时,,函数f(x)单调递减. 3分
所以函数的单调递增区间为 ,单调递减区间为 和 .4分
(2)由,得, 5分
因为对于任意都有成立,
所以问题转化为对于任意都有. 6分
因为,其图象开口向下,对称轴为.
①当,即时,在上单调递减,
所以,
由,得,此时. 7分
②当,即时,在上单调递增,在上单调递减,
所以,
由,得,此时. 8分
综上可得,实数的取值范围为 . 9分
(3)设点是函数图象上的切点,
则过点的切线的斜率, 10分
所以过点P的切线方程为, 11分
因为点在该切线上,
所以,
即.
若过点可作函数图象的三条不同切线,
则方程有三个不同的实数解. 12分
令,则函数的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点.
令,解得
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已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.
(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
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已知函数,其中,
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论的单调性;
(3)若有两个极值点和,记过点的直线的斜率为,问是否存在,使得?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
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已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数,e为自然对数的底数.
(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;
(2)当a=-1时,试推断方程|f(x)|=+是否有实数解,并说明理由.
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已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+aln x(a为常数).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;
(2)当a>0时,讨论函数y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.
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设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的最大值.
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已知函数f(x)=.
(1)函数f(x)在点(0,f(0))的切线与直线2x+y-1=0平行,求a的值;
(2)当x∈[0,2]时,f(x)≥恒成立,求a的取值范围.
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