已知函数.
(Ⅰ)若,求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)设函数图象上任意一点的切线的斜率为,当的最小值为1时,求此时切线的方程.
(Ⅰ)的单调递增区间为,;单调递减区间为;极大值为;极小值为; (Ⅱ)切线的方程为:.
解析试题分析:(Ⅰ)注意,的定义域为().将代入,求导得:.由得,或,由得,由此得的单调递增区间为,;单调递减区间为,进而可得极大值为;极小值为. (Ⅱ)求导,再用重要不等式可得导数的最小值,即切线斜率的最小值:,由此得.由,即得,所以切点为,由此可得切线的方程.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为()时, 1分
当时, 2分
由得,
由得,或,由得, 3分
∴的单调递增区间为,;单调递减区间为 5分
∴极大值为;极小值为 7分
(Ⅱ)由题意知 ∴ 9分
此时,即,∴,切点为, 11分
∴此时的切线方程为:. 13分
考点:导数的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).
(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围;
(3)若过点可作函数y=f(x)图象的三条不同切线,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=ax+ln x,g(x)=ex.
(1)当a≤0时,求f(x)的单调区间;
(2)若不等式g(x)< 有解,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格).
(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格S是多少?
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