Question

5．设点O为坐标原点，椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a≥b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，过点O且斜率为$\frac{1}{6}$的直线与直线AB相交M，且$\overrightarrow{MA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BM}$．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；
（Ⅱ）PQ是圆C：（x-2）²+（y-1）²=5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出A（a，0），B（0，b），M（$\frac{3a}{4}$，$\frac{1}{4}b$），从而${k_{OM}}=\frac{b}{3a}=\frac{1}{6}$，进而a=2b，由此能求出椭圆E的离心率．
（Ⅱ）设椭圆E的方程为$\frac{x^2}{{4{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$，设直线PQ的方程为y=k（x-2）+1，与椭圆联立得（1+4k²）x²-8k（2k-1）x+4（2k-1）²-4b²=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a≥b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，
∴A（a，0），B（0，b），$\overrightarrow{MA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BM}$，∴M（$\frac{3a}{4}$，$\frac{1}{4}b$）．
∴${k_{OM}}=\frac{b}{3a}=\frac{1}{6}$，解得a=2b，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴椭圆E的离心率e为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{{4{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$，即x²+4y²=4b²（1）
依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且$|PQ|=2\sqrt{5}$．
由对称性可知，PQ与x轴不垂直，
设其直线方程为y=k（x-2）+1，代入（1）得：
（1+4k²）x²-8k（2k-1）x+4（2k-1）²-4b²=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{8k（2k-1）}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{{（2k-1）}^2}-4{b^2}}}{{1+4{k^2}}}$，
由$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=2$得$\frac{8k（2k-1）}{{1+4{k^2}}}=4$，解得$k=-\frac{1}{2}$．
从而x₁x₂=8-2b²．
∴$|PQ|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{5}\sqrt{2{b^2}-4}=2\sqrt{5}$．
解得：b²=4，a²=16，∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆方程的求法，考查椭圆、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．