Question

12．小毕喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，他照如图所示摆成了正三角形图案，并把每个图案中总的石子个数叫做“三角形数”，记为T_n，则$\frac{1}{2{T}_{1}}$+$\frac{1}{2{T}_{2}}$+$\frac{1}{2{T}_{3}}$+…+$\frac{1}{2{T}_{2015}}$=$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 通过观察可归纳出：第n个三角形所表示的数为从1开始到n的自然数的和，利用等差数列的前n项和公式求出T_n，再利用裂项相消法求出式子的和．

解答 解：第1个三角形表示的数是1，
第2个三角形表示的数是1+2=3，
第3个三角形表示的数是1+2+3=6，
第4个三角形表示的数是1+2+3+4=10，
…，
第n个三角形表示的数是1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，则$\frac{1}{2{T}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{2{T}_{1}}+\frac{1}{2{T}_{2}}+\frac{1}{2{T}_{3}}+…+\frac{1}{2{T}_{2015}}$
=（1$-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2015}-$$\frac{1}{2016}$）
=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案为：$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查归纳推理，等差数列的前n项和公式，裂项相消法求数列的和，考查了观察、归纳、推理能力，属于中档题．