【题目】(本小题满分12分)
围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:元)。
(Ⅰ)将y表示为x的函数;
(Ⅱ)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
【答案】(Ⅰ)y=225x+
(Ⅱ)当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元。
【解析】
试题(1)设矩形的另一边长为am,则根据围建的矩形场地的面积为360m2,易得,此时再根据旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式;(2)根据(1)中所得函数的解析式,利用基本不等式,我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值,及相应的x值
试题解析:(1)如图,设矩形的另一边长为a m
则45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
(2)
.当且仅当225x=
时,等号成立.
即当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.
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【题目】某高校自主招生一次面试成绩的茎叶图和频率分布直方图均受到了不同程度的损坏,其可见部分信息如下,据此解答下列问题:
(1)求参加此次高校自主招生面试的总人数,面试成绩的中位数及分数在
内的人数;
(2)若从面试成绩在内的学生中任选两人进行随机复查,求恰好有一人分数在
内的概率.
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【题目】如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中
(1)BM与ED平行 (2)CN与BE是异面直线
(3)CN与BM成60° (4)DM与BN垂直
以上四个命题中,正确命题的序号是( )
A. (1)(2)(3) B. (2)(4) C. (3)(4) D. (2)(3)(4)
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【题目】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是棱长为2的正方形,侧面PAD为正三角形,且面PAD⊥面ABCD,E、F分别为棱AB、PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD.
(2)求三棱锥B-EFC的体积.
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【题目】已知椭圆,点
在椭圆
上,椭圆
的四个顶点的连线构成的四边形的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点为椭圆长轴的左端点,
为椭圆上异于椭圆
长轴端点的两点,记直线
斜率分别为
、
,若
,请判断直线
是否过定点?若过定点,求该定点坐标,若不过定点,请说明理由.
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【题目】已知椭圆 :
(
)的左、右焦点分别为
,
,其离心率为
,短轴端点与焦点构成四边形的面积为
.
(1)求椭圆 的方程;
(2)若过点 的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
,
为坐标原点,当
时,试求直线
的方程.
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