Question

【题目】设是实数，函数 ．

（1）求证：函数不是奇函数；

（2）当时，解关于的不等式；

（3）求函数的值域（用表示）．

Answer 1

【答案】(1) 证明见解析(2)时，不等式解集为；时，不等式解集为 (3)时，函数值域为；时，函数值域为；时，函数值域为

【解析】

（1）可以用反证法进行证明，假设是奇函数，应有，而，所以函数不是奇函数；

（2）因为，所以当时，不等式可以化为即

，因为，所以，即，对和的情况进行分类讨论，解不等式；

（3）令，则且，对和的情况进行分类讨论，去绝对值符号，得到两种情况下的函数解析式，再分别计算函数值域

解：（1）假设是奇函数，那么对于一切恒成立，可得，而，所以函数不是奇函数

（2）因为，所以当时，不等式可以化为即

，因为，所以，即

①当，即时，不等式恒成立，故的取值范围是．

②当，即时，不等式得，故的取值范围是

（3）令，则且．

①若，则是增函数，其取值范围为；

②若，则

对于，有．当时，是减函数，取值范围是；当时，的最小值是，取值范围是（时）或者取值范围是（时）

对于，有是增函数，其取值范围为

综上所述，当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为．