Question

5．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），以原点O为极点，Ox轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，曲线犆的方程为ρ=4cosθ．
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设点A（2+2cosα，2sinα），$B（5\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t，2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）$，求|AB|的最小值．（其中α?t为参数）

Answer 1

分析 （1）由方程$\left\{\begin{array}{l}x=5\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t.\end{array}\right.$消去t得直线l的普通方程，由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，把$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$代入可得可得曲线C的直角坐标方程．
（2）由A（2+2cosα，2sinα），B$（5\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t，2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）$知点A的轨迹是曲线C，点B轨迹是直线l．利用点到直线的距离公式可得：圆心C到直线l的距离d，利用|AB|_min=d-r即可得出．

解答 解：（1）由方程$\left\{\begin{array}{l}x=5\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t.\end{array}\right.$消去t得直线l的普通方程为$x+y-5\sqrt{2}-2=0$，
由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，可得曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4x，化为（x-2）²+y²=4．
（2）由A（2+2cosα，2sinα），B$（5\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t，2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）$知点A的轨迹是曲线C，点B轨迹是直线l．
圆心C（2，0）到直线l的距离d=$\frac{|2-5\sqrt{2}-2|}{\sqrt{2}}$=5，
∴|AB|_min=d-r=5-2=3．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．