Question

17．如图，在△ABC中，AB=$\sqrt{2}$，点D在边BC上，BD=2DC，cos∠DAC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cos∠C=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则AC=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据三角形的边角关系结合正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的长度，即可得到结论．

解答 解：∵BD=2DC，
∴设CD=x，AD=y，则BD=2x，
∵cos∠DAC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cos∠C=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠DAC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，sin∠C=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则由正弦定理得$\frac{AD}{sinC}=\frac{CD}{sin∠DAC}$，
即$\frac{y}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{x}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$，即y=$\sqrt{2}x$，
sin∠ADB=sin（∠DAC+∠C）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则∠ADB=$\frac{π}{4}$，$∠ADC=\frac{3π}{4}$，
在△ABD中，$A{B}^{2}=B{D}^{2}+A{D}^{2}-2AD•BDcos\frac{π}{4}$，
即2=4x²+2x²-2×$2x×\sqrt{2}x•\frac{\sqrt{2}}{2}$=2x²，
即x²=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=$\sqrt{2}$
在△ACD中，AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos$\frac{3π}{4}$=2+1-2×$\sqrt{2}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=5，
即AC=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．